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  日前,北理工数学与统计学院谢迅副研究员在国际数学顶级学术期刊《International Mathematics Research Notices》上发表题为“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究论文。该论文给出了SU(p,q)的具有最高权的单模的Gelfand-Kirillov维数的一个算法。这个算法可以用来研究这些单模的Gelfand-Kirillov维数以及伴随簇的一些性质。

  Gelfand-Kirillov维数是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一个数学概念。现在这个概念已成为李群李代数的表示论度量无限维模大小的一个重要不变量。论文研究的对象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高权Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov维数。论文给出了一个简明的直接从最高权出发得到Gelfand-Kirillov维数的算法。应用的一个基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中简略提及的一个公式,Lusztig的这个公式给出了某些最高权模的Gelfand-Kirillov维数与对应Weyl群的元素的a-函数的一个非常漂亮的公式。论文将这个公式推广到最一般的形式,用以连接半单李代数的任意最高权单模的Gelfand-Kirillov维数和某些Weyl群元素的a-函数。

  A型李代數的Weyl群是對稱群,其a-函數可以由著名的RSK算法給出。論文的第二個想法則是通過RSK算法直接作用在最高權上得到楊圖,進而給出a-函數與Gelfand-Kirillov維數。這樣可以省去通過最高權找相對應Weyl群的元素的步驟。

  由于SU(p,q)的具有最高權的Harish-Chandra模的最高權都是(p,q)-支配的,因此,論文著重研究了A型的具有(p,q)-支配權的最高權模的Gelfand-Kirillov維數。其結論是這些權對應的楊圖最多兩列,因此他們對應的最高權模的Gelfand-Kirillov維數可以由他們對應楊圖的第二列的長度所完全確定,並給出了一個組合模型,解釋如何從(p,q)-支配最高權直接讀出楊圖第二列的長度,進而得出相應Gelfand-Kirillov維數的一些性質。最後,論文重新證明了一些關于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov維數的結論,並且確定了SU(p,q)的最高權單模的伴隨簇。

  這項研究爲Gelfand-Kirillov維數和伴隨簇的研究引入了新方法,即使用Hecke代數的a函數的方法。通過這個方法,可以引入一些組合的方法來研究與Gelfand-Kirillov維數和伴隨簇相關的問題。這爲後續研究工作提供了重要的參考價值,這是這篇文章的一大亮點。這篇文章的方法可以考慮推廣到其他經典型的李群的研究,這裏面有許多有意思的問題值得進一步探討。特別是關于BCD型a函數的組合算法的研究,目前相關的工作正在研究之中。

  該項研究工作是謝迅副研究員與蘇州大學白占強副教授合作完成,謝迅爲通訊作者。本項工作得到北京理工大學學術啓動計劃的資助。

  論文鏈接地址: https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247

 

附研究團隊以及個人簡介:

  北京理工大学数学与统计学院代数团队积极开展国际合作研究和學術交流,团队负责人胡峻教授以及团队成员魏丰教授、万金奎教授、张杰副教授、Michael Ehrig副教授,谢迅博士等与澳大利亚悉尼大学、巴西Universidade Federal do ABC大学、美国弗吉尼亚大学、加拿大Sherbrooke大学的研究人员都有合作。团队成员分别开展表示论与李理论、代数组合、丛代数的交叉研究,表现出强劲的发展势头。

  谢迅,副研究员,北理工数学与统计学院代数团队成员之一。博士毕业于中国科学院大学,在北京大学做博士后研究,后到悉尼大学访问一年。长期从事代数群、量子群、Hecke代数的研究。目前,主持国家自然科学基金青年项目,已在International Mathematics Research Notices,Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上发表论文4篇。

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